我爱数学

开场故事：他该住在哪里？

话说阿布扎比是民族学院的一位学生。说来也巧，他有十二个不同年龄的同学，偏偏生肖刚好是鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，十二样生肖样样都有,既不重复，也无遗漏。这么一来，自然就可以用子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，来代表这十二个人了。

阿布扎比

学院的宿舍区里，有一条河滨马路，修得笔直，这十二个人的宿舍全都在那里，而且因为他们的年龄、籍贯和习俗都不一样，领导为了照顾他们，分配他们每人各住在一幢楼的一间宿舍里。他们的住处象一字长蛇阵那样摆开，如图分布在一条直线上。

阿布扎比同这十二人的关系都很好，课余之暇，他打算经常到他们的住处串串门，谈谈心。要是他到这十二人的住处的次数一样多，请问，他的宿舍应当选在哪里，他到各家去串门时，所走的路最少?

这个题目有些特别。十二个宿舍在图上是没有给出距离数的。这就是说，距离可大可小，随便怎么画都行。

十二位同学

解决这个问题，可以先看最外面的两家子和亥。要是只有这两家，那么，在马路上的什么地方，到这两家的距离的和最小呢?当然是子和亥中间的直线上的任何一点(包括子和亥在内)，到这两家的距离的和最小。子亥这一段,在数学上名叫“区间”。

再看紧挨在它里面的一个区间丑戌。很明显，在丑戌这个区间内的任何一点(包括丑和戌在内)，到这两家的距离的和最小。

现在，你大概已经察觉到：因为在丑戌区间内的任何一点，必然也位于子亥区间内；所以，丑戌区间的点，到子、丑、戌、亥四家的距离的和，都是最小的了。

下一步该怎么办呢?想来你的心里已经亮堂了：再看位于丑戌区间里面的寅和酉,然后照此推理。

经过这样“层层剥笋”，直到最里面的一个区间巳午，于是，你就可以下结论说：在巳午区间的任何一点(包括巳和午在内)，都是符合题目条件的。阿布扎比不妨直接搬进巳或者午的宿舍去住。

要是你以后再碰到这样的问题，不管人家是多是少，距离是大是小，道路是直是曲，都不需要作任何计算，就能断言:

一，当人家数是个偶数时，那可以搬到最中间的两家中的一家去住；

二，当人家数是个奇数时，这时必有一家的位置处在中心，那就只能搬进这家去住了。

要是你问：这十二个朋友不是住在一条线上，而是住在一条大道的一些分支上，阿布扎比又该住进哪个宿舍呢?

一般说来，解决这样的问题要困难得多。要是允许他在大道旁选个地点盖房子，这个问题又变得容易起来。你能找到答案吗?

导语

上一讲，我们探究了绝对值的化简，这一讲，我们对绝对值的几何意义作一个深入的剖析。因为在绝对值的知识点中，蕴含了许多重要的数学思想。

(1)分类讨论思想：绝对值化简时，要根据被化简式子的正负性来分类．

(2)整体思想：绝对值化简时，有时需要将被化简式子看作整体．

(3)数形结合思想：绝对值的几何意义中，结合数轴来了解，更加简单易懂．

借助几何的直观性，有的题目用绝对值的几何意义更容易解决。

什么是绝对值的几何意义？

数学课我们学习了绝对值的几何意义：数轴上，表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．如数a的绝对值记作|a|，表示数a的点与原点的距离．

但是我们其实可以把|a|看作|a－0|，这样就能表示为数a的点与数0的点的距离．

那么|a－5|表示什么呢？千万别说成数a－5的点与数0的点的距离．而应该看成数a的点与数5的点的距离．

不能理解的同学，我们就举最简单的例子，数10的点与数5的点的距离是多少，你肯定是知道是10－5，那这里只不过把10换成了a而已，如果a比5小，加个绝对值符号，保证距离的非负性即可，这下你明白了吧．

那么|a＋5|表示什么呢？|a＋5|＝|a－(－5)|，表示数a的点与数－5的点的距离．

最后，你能说出|a－b|和|a＋b|的几何意义吗？

数轴三要素是原点，正方向和单位长度。数轴是数与形的第一次联姻。数轴的几何直观性能够帮助我们理解绝对值的概念。数轴上两点之间的距离是单位长度的个数，不能是负数。a－b可能是负数，加上绝对值符号后可以利用绝对值的非负性保证距离的非负性。由此可见，绝对值还是一个很好的数学模型！

从一道经典题目开始

这道题目非常经典，所以我把它抄下来，分享给大家。题目让我们阅读一段文字材料，然后回答问题。

这道题目让我们先学习，再考察我们学会了没有。这种出题方式很新颖，题目请看下图：

用绝对值的几何意义解题

我们先做（1）填空题。

①小题依次填空：3，3，4。

②小题依次填空：|x+1|，1和－3。

③小题要搞懂题目的几何意义：x是一个动点，A点代表数－1，B点代表数2，求x到A，B两点的距离之和取最小值时，x的取值范围。第二个空格要求填入最小值，最后一个空格问的是动点x到－2，－4和1这三个点的距离之和的最小值。

读懂题目就好做了。第一个空格填

－1≤x≤2

第二个空格填入最小值3

第三个空格填入最小值5

题目没有问x的取值范围，如果问了，就这样回答：当x=－2时，原式取最小值。

我们来做（2）计算题。

先搞懂题目的几何意义。题目问的是动点x到1，2，3...2021这共计2021个点的距离之和的最小值是多少？

因为定点的数量是奇数，所以当x与这2021个点的中点重合时，所求的距离之和取最小值。

中点在哪里呢？当然是（2021+1）÷2=1011的那个点。

只需计算1011到1～1010的距离之和，得数乘以2就是所要求的答案。

也就是等差数列1，2，3，...，1010求和再乘以2。

套公式计算：

S=1010×（1+1010）÷2

=510555

2S=510555×2

=1021110

答：原式的最小值是1021110。

读了开场故事，我们明白了这类问题有“奇中偶范”的结论。当定点数量是奇数时，动点位于正中点，距离总和取最小值；当定点数量是偶数时，动点在中间两点的区间内，距离总和取最小值。

证明在最后一个章节给出。

最值问题

例1请看下图：

例2请看下图：

例2也可以用绝对值的代数意义来解答。原式的两个绝对值的零点分别是1和2，用零点分段法把数轴分为3段，分类讨论：

当x≥2时，原式=x-1-(x-2)=x-1-x+2=1，

（最大值）

当1<x<2时，原式=x-1-(2-x)=x-1-2+x

=2x-3；

当x≤1时，原式=1-x-(2-x)=1-x-2+x=-1

（最小值）

绝对值的应用

例3 武汉百步亭小区交警每天骑摩托车沿南北街来回巡逻，早餐从A地出发，晚上最后到达B地，假定向北为正方向，当天巡逻记录如下：（单位：Km）

14，－9，18，－7，13，－6，10，－6，问：

（1）B地在A地什么位置？

（2）若摩托车每千米耗油0.1升，则一共需耗油多少升？

解答：第一问可以把题目数据直接相加，

14-9+18-7+13-6+10-6=27

答案是正数，所以B地在A地正北27千米。

第二问不能把数据直接相加，因为距离不能为负，所以利用绝对值的非负性，把数据的绝对值相加：

|14|+|-9|+|18|+|-7|+|13|+|-6|+|10|+|-6|=83

83×0.1=8.3

答：共耗油8.3升。

例4．三台生产同一种产品的机器 M₁、M₂、M₃在 x 轴上的位置如图所示．M₁、

M₂、M₃生产该产品的效率之比为 2：1：3，它们生产的产品都需要沿着 x 轴运

送到检验台检验，而移动所需费用与移动的距离成正比．问检验台应该设在 x轴上的何处，才能使移动产品所花费的费用最省？

解：设检验台应该设在 x 轴上的 P 处，P 点表示的数为 x，

根据题意得到移动的距离总和 S=1×|x+2|+2×|x-1|+3×|x-3|

=|x+2|+2|x-1|+3|x-3|，

当 x≤-2 时，S=-x-2-2x+2-3x+9=-6x+9，此时 x=-2 时，S 的值最小为 21；

当-2＜x＜1 时，S=x+2-2x+2-3x+9=-4x+13，S 没有最小值；

当 1≤x≤3 时，S=x+2+2x-2-3x+9=9，此时 S 的值不变，等于 9；

当 x＞3 时，S=x+2+2x-2+3x-9=6x-9，此时 S 没有最小值．

因为移动所需费用与移动的距离成正比，而 1≤x≤3 时，移动的距离总和最小，

所以检验台应该设在 x 轴上的 M₁与 M₃之间（包括 M₁与 M₃），才能使移动产品所花费的费用最省．

例4 不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果

|a-b|+|b-c|=|a-c|，那么B点应为( )

(1)在AC点的右边；(2)在A，C点的左边；

(3)在A，C点之间

(4)以上三种情况都有可能

解：|a-b|+|b-c|=|a-c|的几何意义：数轴上表示a、b、c三个数的点之间的距离关系，a到b的距离，即b到a的距离与到c的距离的和等于a与c之间的距离，因而点B在A，C之间，选(3).

例5 已知|x-1|+|x-5|=4，求x的取值范围。

解:设定点A，B在数轴上对应的数分别是1和5，动点P对应的数是x，因为

AB=|1-5|=4，所以点P在线段AB上，即x的取值范围是1≤x≤5.

也可以用绝对值的代数意义来解：

当x<1时，|x-1|+|x-5|=1-x+5-x=6-2x>4；

当1≤x≤5时，|x-1|+|x-5|=x-1+5-x=4；

当x>5时，|x-1|+|x-5|=x-1+x-5=2x-6>4；

综上所述，x的取值范围是1≤x≤5.

85．已知|x-3|+|x+2|的最小值是 a，|x+3|-|x+2|的最大值是 b，求 a+b 的值．

解：把|x-3|看成是数轴上点 x 到 3 的距离，|x+2|看成是数轴上点 x 到-2 的距离，所求的值就是表示数 x 的点到-2、3 的距离的和，最小值显然是-2 到 3 的距离为 5，故 a=5

同理，|x-3|-|x+2|则可以看成数轴上表示数 x 的点到 3 与-2 的距离的差，最大值就是 3 与-2 之间的距离，也是 5，从而 b=5，

故 a+b=10．

绝对值方程和不等式

95．阅读下列材料，回答问题：

我们知道|x|的几何意义是在数轴上数 x 对应的点与原点的距离，即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数 x 与数 0 对应的点之间的距离；这个结论可以推广

为|x₁-x₂|表示在数轴上数 x₁与数 x₂对应的点之间的距离；

例 1．解方程|x|=2．因为在数轴上到原点的距离为 2 的点对应的数为±2，所以

方程|x|=2 的解为 x=±2．

图一

例 2．解不等式|x-1|＞2．在数轴上找出|x-1|=2 的解（如图 1），因为在数轴上

到 1 对应的点的距离等于 2 的点对应的数为-1 或 3，所以方程|x-1|=2 的解为

x=-1 或 x=3，因此不等式|x-1|＞2 的解集为 x＜-1 或 x＞3．

图二

例 3．解方程|x-1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上

到 1 和-2 对应的点的距离之和等于 5 的点对应的 x 的值．因为在数轴上 1 和-2

对应的点的距离为 3（如图 2），满足方程的 x 对应的点在 1的右边或-2的左边．若

x 对应的点在 1 的右边，可得 x=2；若 x 对应的点在-2 的左边，可得 x=-3，因

此方程|x-1|+|x+2|=5 的解是 x=2 或 x=-3．

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x+3|=4 的解为_______；

（2）解不等式：|x-3|≥5；

（3）解不等式：|x-3|+|x+4|≥9．

解：（1）∵在数轴上到-3 对应的点的距离等于 4 的点对应的数为 1 或-7，

∴方程|x+3|=4 的解为 x=1 或 x=-7．

（2）在数轴上找出|x-3|=5 的解．

∵在数轴上到 3 对应的点的距离等于 5 的点对应的数为-2 或 8，

∴方程|x-3|=5 的解为 x=-2 或 x=8，

∴不等式|x-3|≥5 的解集为 x≤-2 或 x≥8．

（3）在数轴上找出|x-3|+|x+4|=9 的解．

由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到 3 和-4 对应的点的距离之和

等于 9 的点对应的 x 的值．

∵在数轴上 3 和-4 对应的点的距离为 7，

∴满足方程的 x 对应的点在 3 的右边或-4 的左边．

若 x 对应的点在 3 的右边，可得 x=4；若 x 对应的点在-4 的左边，可得 x=-5，

∴方程|x-3|+|x+4|=9 的解是 x=4 或 x=-5，

∴不等式|x-3|+|x+4|≥9 的解集为 x≥4 或 x≤-5．

绝对值的综合题

107．将 1，2，…，100 这 100 个正整数任意分成 50 组，每组两个数．现将每组两个数中的一个记为 a，另一个记为 b，代入 中进行计算，并求出结果．50 组都代入后，可求得 50 个值，求这 50 个值的和的最大值．

解：①若 a≥b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，

∴代数式等于 a，

②若 b＞a 则绝对值内符号相反，

∴代数式等于 b

由此可见输入一对数字，可以得到这对数字中大的那个数（这跟谁是 a 谁是 b

无关）

既然是求和，那就要把这五十个数加起来还要最大，

我们可以枚举几组数，找找规律，

如果 100 和 99 一组，那么 99 就被浪费了，

因为输入 100 和 99 这组数字，得到的只是 100，

如果我们取两组数字 100 和 1 一组，99 和 2 一组，

则这两组数字代入再求和是 199，

如果我们这样取 100 和 99，2 和 1，

则这两组数字代入再求和是 102，

这样，可以很明显的看出，应避免大的数字和大的数字相遇这样就可以使最后的和最大，由此一来，只要 100 个自然数里面最大的五十个数字从 51 到 100 任意两个数字不同组，这样最终求得五十个数之和最大值就是五十个数字从 51 到 100 的和，

51+52+53+…+100=3775．

108．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，

其运算过程是：输入第一个整数 x₁，只显示不运算，接着再输入整数 x₂后则显

示|x₁-x₂|的结果．比如依次输入 1，2，则输出的结果是|1-2|=1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．

（1）若小明依次输入 1，2，3，4，则最后输出的结果是_______；若将 1，2，

3，4 这 4 个整数任意的一个一个的输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值

是_______，最小值是_______；

（2）若随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数 2，a，b，全部输入完毕

后显示的最后结果设为 k，k 的最大值为 10，求 k 的最小值．

解：（1）根据题意可以得出：|1-2|=|-1|=1，|1-3|=|-2|=2，|2-4|=|-2|=2，

对于 1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0，|||1-3|-2|-4|=4，

故全部输入完毕后显示的结果的最大值是 4，最小值是 0；

故答案为：2，4，0；

（2）∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数 2，a，b，全部输入完毕

后显示的最后结果设为 k，k 的最大值为 10，

∴设 b 为较大数字，当 a=1 时，|b-|a-2||=|b-1|=10，

解得：b=11，

故此时任意输入后得到的最小数为：|2-|11-1||=8，

设 b 为较大数字，当 b＞a＞2 时，|b-|a-2||=|b-a+2|=10，

则 b-a+2=10，即 b-a=8，则 a-b=-8，

故此时任意输入后得到的最小数为：|a-|b-2||=|a-b+2|=6，

综上所述：k 的最小值为 6．

109．从数码 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任选 4 个数码，用这四个数码组

成数字最接近的两个两位数，并用 d 表示这两个两位数的差的绝对值（例如，

选取数码 1，2，7，9），则 d=|27-19|=8），这样，任意四个数码就对应一个正

整数 d，求 d 的最大值．

109．解：显然，两位数的十位项肯定是相差最少的两个数．由于 9 个数取 4 个，

所以至少有 2 个数字的差不大于 2．

因此要让 d 尽量大的话，十位数最大也就相差 2．

要让两个两位数尽量接近，那么较小的十位数应该与较大的个位数组合，较大的

十位数与较小的个位数组合，那么其差值就会比较小．

所以为了让 d 最大化，个位数应该尽量接近．但是再接近其差值也不能小于 2，

因为一旦小于 2，这两个数就会被选为十位数了．

所以最后的结论就是，要让 d 最大化，这四个数字必须分别相差 2．

你可以设四个数分别为 A，A+2，A+4，A+6

那么

d=|A×10+A+6-（A+2）×10-（A+4）|

d=|11A-11A+6-24|

d=18．

110．有一正整数列 1，2，3，…，2n-1、2n，现从中挑出 n 个数，从大到小

排列依次为 a₁，a₂，…，aₙ，另 n 个数从小到大排列依次为 b₁，b₂，…，bₙ．求

|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…+|aₙ-bₙ|之所有可能的值．

解：令 n+1、n+2、n+3、…、2n 为大数，1、2、3、…、n 为小数．

设 aᵢ中必也有 n-k 个小数，则 bᵢ中必有 n-k 个大数，k 个小数，

其中 i=1，2，3，n，0≤k≤n，k∈Z

令：a₁，a₂，…，aₖ，bₖ₊₁，bₖ₊₂，…，bₙ 为大数，

b₁，b₂，…，bₖ，aₖ₊₁，aₖ₊₂，…，aₙ 为小数．故|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…+|aₙ-bₙ|

=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…+|aₖ-bₖ|+|aₖ₊₁-bₖ₊₁|+|aₖ₊₂-bₖ₊₂|+…+|aₙ-bₙ|

=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（aₖ-bₖ）+（bₖ₊₁-aₖ₊₁）+（bₖ₊₂-aₖ₊₂）+…+（aₙ-bₙ）

=（（n+1）+（n+2）+…+（2n））-（1+2+3+…+n）

=n²．

特别收录

奥数教程：绝对值的几何意义

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